classniy.ru

Пусть α– плоскость, точка S– точка, не лежащая в этой плоскости. Возьмем на плоскости произвольный круг с радиусом R. Соединим произвольную точку A этого круга с точкой S отрезком AS. Если точка А будет описывать круг с радиусом R, то отрезки AS будут заполнять некоторое тело. Это тело называют круговым конусом.Границей конуса является круг радиуса R и боковая поверхность конуса.Боковую поверхность описывает отрезок AS , когда точка A описывает круг.Точка S является вершиной конуса. Множество отрезков AS, соединяющих вершину с окружностью основания являются направляющими конуса.Если перпендикуляр, опущенный из точки S, совпадает с центром основания, то конус называется прямым.Очень часто говорят, что прямой конус образуется в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащий его катет.На данном рисунке прямой конус получился в результате вращения прямоугольного треугольника AOS вокруг катета SO. Тогда говорят, что

Полная поверхность конуса – это сумма площади его боковой поверхности и площади основания конуса:

Основанием конуса является круг с радиусом R. Его площадь равна произведению числа π на квадрат его радиуса: Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле: или Тогда площадь полной поверхности конуса равна: или Таким образом, площадь полной поверхности конуса равна произведению числа {pi} на радиус конуса и сумму направляющей и радиуса.Формула имеет следующий вид: Площадь полной поверхности конуса равна произведению числа π на радиус конуса и сумму корня квадратного из суммы квадратов радиуса и высоты конуса и радиуса конуса.Формула имеет следующий вид:

Очень часто в задачах на вычисление площади боковой поверхности конуса известна высота конуса вместо его направляющей.Так как конус прямой, то треугольник AOS – прямоугольный, где AO и OS – катеты, а AS –гипотенуза. Воспользовавшись теоремой Пифагора, получаем: Отсюда: Но Тогда:Подставим данное выражение в формулу площади боковой поверхности конуса: Боковая поверхность конуса равна произведению числа на радиус конуса и корень квадратный из суммы квадратов радиуса и высоты конуса

Пусть дан конус с радиусом R и образующей LAS=L, AO=RРазрежем конус по образующей L и развернем его боковую поверхность.В результате получим криволинейный треугольник ASA` , где AS=L, A`S=L.Дуга AA` -это вытянутая окружность основания конуса с радиусом R. Следовательно, длина дуги AA` будет равна 2πRПлощадь боковой поверхности будет равна площади сектора круга с радиусом R.Если угол α – радиальная мера угла, то: где α=∠{ASA`}Чтобы найти угол ∠{ASA`} воспользуемся формулой длины дуги, которая стягивает данный угол: Но с другой стороны: Приравняем правые части равенств. Имеем: Выразим α: Подставим полученное выражение в формулу площади сектора: Следовательно, боковая поверхность конуса равна произведению числа π на радиус конуса и его образующую.Формула боковой поверхности конуса будет иметь следующий вид: